왜 당신은 반복적으로 "답변을 개선"한 후에 점점 더 터무니없게 되는가?
반복되는 계산이 모두 답에 가까워지는 것은 아닙니다. 동일한 질문의 경우 다시 작성하는 방법과 시작점이 모두 결과에 영향을 미칩니다.
오류가 점점 작아지기를 바라면서 계속해서 추측을 수정합니다. 하지만 책에 나오는 같은 5차 방정식은 쓰는 방법만 바꾸면 안정적인 수렴에서 일정한 박동으로 바뀔 수 있습니다. 동일한 그림에 넣고 "반복"에 도구 변경이 필요한 시기를 확인하세요.
먼저 추측해 보세요
동일한 방정식을 동등한 방식으로 다시 작성하면 반복을 통해 정확히 동일한 수렴 성능이 나올까요?
정답과 설명 보기
불확실한 — 등가 방정식은 동일한 뿌리를 가지지만 업데이트 규칙의 안정성은 완전히 다를 수 있습니다.
그렇다면 경험과 과학을 연결하세요
먼저 "매번 변경하는 방법"을 살펴 보겠습니다.
동일한 방정식을 다른 업데이트 규칙으로 다시 작성할 수 있습니다. 반복되는 것을 볼 때 수렴된다고 신뢰하는 대신 각 규칙을 확인하십시오.
xnew = g(xold)
숫자가 다음과 같은지 확인하는 것이 아니라 잔차를 살펴보세요.
잔차 f(x)는 후보 답변이 얼마나 멀리 있는지 보여줍니다. 수렴, 단계 부족, 수치 폭주 등은 별도로 기록해야 합니다.
잔차 |f(x)| 및 단계 허용 오차
뉴턴은 접선을 사용하여 다음 단계를 예측합니다.
접선과 가로축의 교차점은 새로운 추측을 제공합니다. 이 예측은 접선이 너무 평평하거나 시작점이 좋지 않은 경우에도 실패할 수 있습니다.
xnew = xold − f(xold)/f′(xold)
2개의 포인트가 루트로 간격을 보호합니다.
연속함수의 양끝은 부호가 다르며, 그 간격은 매번 반으로 줄어드는 것으로 알려져 있습니다. 속도가 느려질 수 있지만 각 단계에서 오류 경계가 명확합니다.
n번째 단계 간격 너비 = 원래 너비 / 2ⁿ
계산 과정 펼치기
xₙ₊₁ = g(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) m = (a+b)/2 二分n바퀴后的宽경비 = (b₀−a₀)/2ⁿ
각각 고정점, 뉴턴 및 이등분에 해당합니다. 뉴턴의 방법에서는 도함수를 사용할 수 있고 0이 아니어야 합니다. 이등분에는 연속 기능을 위해 이방성 브래킷이 필요합니다. 단계 크기가 작은 경우 잔차도 확인해야 합니다.
한번 시도해 보세요
먼저 수렴 예제를 살펴본 다음 발산 및 점프백 재작성을 선택해 보겠습니다. 뉴턴은 잘못된 출발점을 만나면 실패할 것입니다. 이분법은 연속적이고 서로 다른 부호의 경계 간격을 사용합니다.
한번보세요 →
기호를 외울 필요가 없습니다
- f(x)
- 0이 되고 싶은 함수
- f′(x)
- 뉴턴 방법의 분모인 접선 기울기
- [a,b]
- 서로 다른 부호를 갖는 연속 함수의 끝점으로 둘러싸인 구간
- 용인
- 유일한 중지 조건으로 정확한 부동 소수점 동일성이 없는 허용 가능한 잔차 또는 간격 너비
알고리즘, 정확성 및 적용 범위
5장 예제 5.b–5.d를 뉴턴, 이등분 및 부동 소수점 중지 조건으로 보충합니다. x⁵+17x−8, x⁵+3x−8, x⁵−3x−8, s³+3s−0.9와 비교할 수 있습니다. 고정 소수점 형태는 (b−xᵖ)/a, 실수 홀수근(b−ax)^(1/p), b/(x^(p−1)+a)이며, 동일한 방정식을 다르게 다시 쓰면 수렴하거나 발산하거나 두 개의 기간을 형성할 수 있습니다. 뉴턴은 도함수 p x^(p−1)+a를 사용하고 도함수는 0 근처에서 멈춥니다. 이등분은 다른 부호가 입증된 연속 다항식의 간격에서 작동합니다. 데모는 최대 40단계까지 수행할 수 있습니다. 절대 후보 값이 1e8을 초과하면 중지되고 프롬프트됩니다. 잘림이 없는 것을 수렴이라고 합니다. 허용오차는 1e−10입니다. 오래된 하드웨어의 부동 소수점 가수 진동은 그 이유만을 설명합니다. 현재 JavaScript 엔진에서는 위조되지 않고 동일한 시퀀스가 필연적으로 발생합니다. 곡선 창은 x∈[−3,3], y∈[−40,40]로 고정되어 있으며 창 밖의 값은 숫자로 표시됩니다.
내 이해 확인
두 번 표시된 소수가 똑같아 보인다면 멈춰야 할까요?
또한 공차와 잔차도 확인하세요. — 명시적인 반올림은 변경 사항을 가릴 수 있습니다. 알고리즘에는 명확한 중지 조건과 반복 범위가 있어야 합니다.
이분법 방법을 사용하면 두 끝의 부호가 서로 다른 한 가운데에 영점이 있음을 확인할 수 있습니까?
함수는 또한 간격 내에서 연속이어야 합니다. — tan을 가로지르는 수직 점근선도 다른 부호를 갖지만 영점은 없습니다.
뉴턴의 도함수가 0에 가까워지면, 그래야 할까요?
시작 지점/방법 중지 또는 변경 — 분모가 너무 작으면 크고 신뢰할 수 없는 수정이 발생할 수 있습니다.
반복은 "단지 몇 번만 더 세는 것"이 아닙니다. 올바른 규칙을 선택하고, 잔차를 확인하고, 실패하면 명시적으로 중지하세요.
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 아니요. 5 장