星历表只记几次，怎么找出“最近”和“刚好过零”的时刻？
除了补一个中间值，插值还能寻找局部极小值或过零点；前提是数据真的在附近。
表格里太阳到火星的距离先变小、再变大，最小值可能藏在两行之间。另一张表里水星纬度一负一正，它也在两次记录之间穿过了零。我们用书中的三点或五点，把这些时刻找出来。
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先猜一下
看到一段曲线在下降，就能把它外推很远来确定最低点吗？
查看答案与解释
不能，最低点应有附近数据支持 — 局部插值多项式在远处可能与真实函数完全不同。
再把体验和科学连起来
先把单位和中心选对
表中角度已化成角秒，时刻偏移除以表格间隔才是n。中心应靠近要查询的事件。
n=(查询时刻−中心时刻)/表格间隔
三点与五点用到的信息不同
三点描述二次弯曲；第三差分不能忽略时，五点会保留更高阶变化。不是简单把五个点平均。
三点二次 / 五点四次差分多项式
过零与极值是两个不同条件
水星纬度过零求y=0；火星距离最小求导数y′=0。找到时刻后还要计算该时刻的函数值。
零点 y(n)=0；极值 y′(n)=0
只信附近，不把外推当预测
求出的n如果远离中心，书中公式可能给出荒谬结果。本课拒绝这种事件输出，提示换中心或数据。
局部求根后再检查范围和残差
把计算链展开
a = y₂−y₁；b = y₃−y₂；c = b−a y(n) = y₂ + n(a+b+nc)/2 y′(n) = (a+b)/2 + nc 零点：y(n)=0；极值：y′(n)=0
以上展开三点分支，五点分支采用四次多项式。导数针对无量纲n；求根后还需检查范围，c=0时不直接除以c求极值。
试一试
先看月球表的三点与五点差别，再切到水星过零和火星最近距离。不能从遥远的一小段数据可靠外推极值。
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符号不用背
- n
- 距中心时刻的偏移，除以采样间隔
- a,b,c / A…K
- 逐阶差分
- y(n)
- 三点二次或五点四次插值多项式
- y′(n)=0 / y(n)=0
- 极值条件 / 过零条件
算法、精度与适用范围
补齐第3章3.3–3.11。三点与五点差分展开为同一多项式；零点用原式3.7/3.11等价Newton修正，极值对导数求零；另保留3.6/3.10式固定迭代的数学入口作比较。不把没有找到局部根当作零，不接受离中心超过一个间隔的外推根。界面查询限制|n|≤0.5，事件搜索检查|n|≤1。月球地平视差采用例3.e；水星五点过零采用印刷页30练习；火星极值采用3.b；第四表为明确标记的自编四次函数。结果时间沿用各表注明的TD或UT，不作相互换算。所有数据预先转同一单位；另有原书赤经跨24h与太阳经度跨0°数据，采用最短连续差展开后插值，不把359°到0°当成倒走359°。五点不是任意情况下都更准确。原书的远处正弦极值反例说明了外推风险，未将不可靠外推作为预报功能。
我的理解检查
寻找函数的零点，与寻找最小值，条件相同吗？
不同 — 零点要求y=0，极值要求导数为零。
n=0.25总等于6小时吗？
不是，要看表格间隔 — 只有采样间隔为一天时，0.25个间隔才是6小时。
只给三条记录，能直接当成五点法吗？
不能 — 五点法需要五个等间隔值，程序不能自己捏造另外两个。
先选事件附近的表格，再分别求值、求零或求极值；最后检查单位、范围和残差。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 3 章