表格每天只記一次，晚上那一刻的數字從哪裡來？
用前後幾筆記錄，補出附近沒有直接列出的時刻。
像是查看每天一張的記錄單，星曆表也可能每天只給一個數。這裡是書裡連續三天的火星—地球距離：如果你要查前一天晚上，表中沒有那一行，就需要利用附近的變化來估計。
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先猜一下
星曆表沒寫晚上的那一刻，直接照抄次日午夜的數一定準確嗎？
查看答案與解釋
不一定，中間也在變化 — 相鄰時刻的數值可能不同；需要根據附近資料的變化估計，並檢查是否適合插值。
再把體驗和科學連結起來
選取三個等間隔的點
使用書中的火星—地球距離：1992 年 11 月 7、8、9 日 0 時 TD。中心取 8 日。
y₁ = 0.884226，y₂ = 0.877366，y₃ = 0.870531 AU
先看每天變化多少
前一天和後一天的變化略有差別，這告訴我們曲線並不完全筆直。
a = y₂ − y₁；b = y₃ − y₂
加上一點彎曲
二階差分 c = b − a 描述變化速度的變化。三點內插相當於擬合一小段拋物線。
c = b − a = 0.000025 AU
在附近讀出結果
n = 0 是中心時刻；n 為負表示更早。拖曳滑桿讀取中間的距離。
y = y₂ + n(a + b + nc)/2
把計算鏈展開
a = y₂ − y₁；b = y₃ − y₂ c = b − a n = (t − t₂)/Δt y(t) = y₂ + n(a + b + nc)/2
先求兩段一階差，再求二階差。 n沒有單位；本課Δt=1天。 n=0時修正項消失，必須回到y₂。
試一試
先點“表裡已有的時刻”，再點“前一天 12:00 TD”和“當天 06:00 TD”。虛線記錄單顯示估計結果，左邊原有三筆記錄不會改變。
動手看一遍 →
符號不用背
- y₁, y₂, y₃
- 相鄰三天的距離，單位 AU（天文單位）
- n
- 距中心時刻的偏移，除以表格間隔；本例間隔 1 天
- a, b, c
- 一階差分與二階差分
演算法、精確度與適用範圍
採用書中表 (3.2) 與式 (3.3)，印刷頁 24。 TD 是書中動力學時的寫法；本課不與 UT 做轉換。區間限制為 −0.5 至 +0.5，以保持中心點最近。圖中曲率很小，這是原始資料本身的性質。 情境說明：保留原書表 (3.2) 的地火距離與式 (3.3)，單位 AU；日期為 1992 年 11 月 7–9 日 0 時 TD。本課程不轉換為當地時區或 UT，查詢範圍限制在中心前後半天，不畫出真實比例的行星空間軌道。
我的理解檢查
本課三筆原始紀錄，相鄰時刻隔多久？
一天 — 相鄰記錄都在連續日期的午夜，間隔一天。
右邊虛線記錄單裡的中間數，是新測量的嗎？
不是，是插值得到的 — 它來自左側三筆記錄的計算，不能把估計值當成新測量證據。
知道三天的數據，就能放心預測幾十年以後嗎？
不能 — 短區間的平滑插值不是完整運動定律，不能隨意做遠距離外推。
插值是在附近記錄之間補空白。知道估計值從哪裡來，也要知道它不能推多遠。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 3 章