Comment transformer un long jardin en carré étape par étape ?
Gardez la zone inchangée, ajustez les deux côtés et voyez de vos propres yeux que « plus vous devinez, plus vous serez précis ».
Algorithmes généraux et calcul numérique
Vous disposez de 159 mètres carrés de terrain et souhaitez le clôturer de forme carrée. Tout d’abord, déterminez au hasard un côté, puis calculez l’autre côté en utilisant « surface ÷ longueur du côté ». Deux côtés ne sont pas égaux ? Prenez leur moyenne et réessayez.
Devinez d'abord
Si vous souhaitez transformer un rectangle à aire fixe en carré, quels doivent être les deux derniers côtés ?
Afficher la réponse et les explications
Même longueur — Si deux côtés adjacents d’un carré sont égaux, l’aire aura toujours le même nombre.
Ensuite, connectez l'expérience et la science
Remplacez la longueur du côté inconnue par une supposition
Le point bleu est la supposition x, le point gris est 159/x. La somme des deux fait toujours 159, ce qui n’est souvent pas un carré.
Longueur × Largeur = x × (159/x) = 159
Les deux côtés se rapprochent du milieu
Si l’un est trop court, l’autre sera trop long. Faites-en la moyenne comme prochaine estimation de la longueur du côté.
xnouveau = (xancien + 159/xancien) / 2
Répétez la même règle
Modifiez le nombre de corrections et observez que les deux points se chevauchent progressivement. Différentes valeurs initiales affecteront le nombre d'étapes requises, mais ne modifieront pas la racine carrée positive de ce problème.
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
Revenir à la vérification initiale du problème
Ne vous contentez pas de regarder les deux derniers nombres : placez la longueur actuelle du côté au carré et voyez à quelle distance elle se trouve de 159.
Résidu = x² − 159
Développer le calcul
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
N = 159 ; partir de nombres positifs. Calculez d'abord N/x, puis faites-en la moyenne avec l'ancien x. Le résidu est proche de zéro, ce qui signifie que le carré est proche de la cible, ce qui ne signifie pas que tous les chiffres sont exacts.
essaie-le
Changez la valeur initiale de 12 à 1 et augmentez progressivement le nombre de corrections. Avez-vous atteint la précision souhaitée en six étapes ?
Pas besoin de mémoriser les symboles
- x
- Estimation actuelle de la longueur du côté positif
- 159/x
- L'autre côté du rectangle a une aire garantie de 159
- résiduel
- La différence restante après avoir remplacé les réponses des candidats dans l'équation d'origine
Algorithme, précision et champ d'application
Chapitre 5 Exemple 5.a, imprimé page 48. Seule l'itération des racines carrées positives est démontrée ici, et on ne peut pas conclure qu'une quelconque itération converge. La valeur initiale est limitée au positif et un maximum de six étapes peuvent être affichées. "Le nombre d'étapes utilisées" ne s'appelle pas "atteindre la précision". La vérification indépendante utilise la recherche de racine bipartite, les valeurs pas à pas et les résidus ; AAKepler d'AA+ est une autre application itérative, mais non implémentée dans cet exemple.
vérification de ma compréhension
La superficie du jardin a-t-elle changé après chaque ajustement ?
Non, toujours 159 — L'autre côté divise toujours le premier côté par 159, donc la zone demeure toujours.
Les deux côtés sont 12 et 13,25, quelle est la moyenne ?
12.625 — Additionnez les deux nombres et divisez par 2.
Si cela ressemble à un carré, chaque décimale peut-elle être correcte ?
Non, vous devez vérifier l'erreur — Les graphiques aident uniquement à établir l’intuition ; les résultats suffisamment fins doivent être vérifiés en utilisant la différence entre les deux côtés ou l’équation de substitution.
Essayez d'abord une réponse, corrigez-la avec les règles, puis vérifiez les résultats ; c'est l'intuition du « rapprochement successif ».
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · Non. 5 chapitre
Algorithmes généraux et calcul numérique · Tous les cours interactifs