一块长条花园，怎样一步步变成正方形？
面积不变，调整两条边，亲眼看见“越猜越准”。
你有 159 平方米的地，想围成正方形。先随手定一条边，另一条边就用“面积 ÷ 边长”算出来。两条边不相等？取它们的平均值，再试一次。
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先猜一下
想把固定面积的长方形变成正方形，最后两条边应该？
查看答案与解释
一样长 — 正方形的两条相邻边相等，面积仍然是同一个数。
再把体验和科学连起来
把未知边长换成一个猜测
蓝点是猜测 x，灰点是 159/x。两者乘起来始终为 159，但往往还不是正方形。
长 × 宽 = x × (159/x) = 159
两条边向中间靠拢
若一条偏短，另一条就偏长。把它们取平均，作为下一次的边长猜测。
x新 = (x旧 + 159/x旧) / 2
重复同一条规则
改变修正次数，观察两点逐渐重合。初值不同会影响需要多少步，不改变这道题的正平方根。
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
代回原问题检查
不只看最后两次数字像不像：把当前边长平方，看看与 159 还差多少。
残差 = x² − 159
把计算链展开
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
N=159；从正数起步。先算 N/x，再与旧 x 取平均。残差接近零，表示平方接近目标，不等于所有位数都准确。
试一试
把初值从 12 换成 1，逐步增加修正次数。六步是否已经达到你想要的精度？
动手看一遍 →
符号不用背
- x
- 当前的正边长猜测
- 159/x
- 保证矩形面积为 159 的另一条边
- 残差
- 把候选答案代回原方程后剩下的差
算法、精度与适用范围
第 5 章例 5.a，印刷页 48。这里只演示正数平方根的迭代，不能据此断言任意迭代都收敛。初值限定为正，最多展示六步，不把“步数用完”称为“达到精度”。独立验证使用二分求根、书中逐步值和残差；AA+ 的 AAKepler 是另一种迭代应用，但不是本例实现。
我的理解检查
每次调整后，花园面积变了吗？
没有，仍是 159 — 另一条边总用 159 除以第一条边，所以面积始终保持。
两条边分别为 12 和 13.25，取平均是多少？
12.625 — 把两数相加再除以 2。
画起来很像正方形，就能保证每一位小数都正确吗？
不能，还要检查误差 — 图只帮助建立直觉；足够精细的结果要用两边差值或代回方程检查。
先试一个答案，用规则修正它，再检查结果；这就是“逐次逼近”的直觉。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 5 章