一塊長條花園，怎麼一步步變成正方形？
面積不變，調整兩邊，親眼看見「越猜越準」。
你有 159 平方公尺的土地，想圍成正方形。先隨手定一邊，另一邊就用「面積 ÷ 邊長」算出來。兩邊不相等？取它們的平均值，再試一次。
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先猜一下
想把固定面積的長方形變成正方形，最後兩邊應該？
查看答案與解釋
一樣長 — 正方形的兩條相鄰邊相等，面積仍然是同一個數。
再把體驗和科學連結起來
把未知邊長換成猜測
藍點是猜測 x，灰點是 159/x。兩者乘起來總是 159，但往往還不是正方形。
長 × 寬 = x × (159/x) = 159
兩條邊向中間靠攏
若一條偏短，另一條就偏長。把它們取平均，當作下一次的邊長猜測。
x新 = (x舊 + 159/x舊) / 2
重複同一條規則
改變修正次數，觀察兩點逐漸重合。初值不同會影響需要多少步，不改變這題的正平方根。
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
代回原問題檢查
不只看最後兩次數字像不像：把目前邊長平方，看看與 159 還差多少。
殘差 = x² − 159
把計算鏈展開
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
N=159；從正數起步。先算 N/x，再與舊 x 取平均。殘差接近零，表示平方接近目標，不等於所有位數都準確。
試一試
把初值從 12 換成 1，逐步增加修正次數。六步是否已經達到你想要的精準度？
動手看一遍 →
符號不用背
- x
- 目前的正邊長猜測
- 159/x
- 保證長方形面積為 159 的另一邊
- 殘差
- 把候選答案代回原方程式後剩下的差
演算法、精確度與適用範圍
第 5 章例 5.a，印刷頁 48。這裡只示範正數平方根的迭代，不能據此斷言任意迭代都收斂。初值限定為正，最多展示六步，不把「步數用完」稱為「達到精度」。獨立驗證使用二分求根、書中逐步值和殘差；AA+ 的 AAKepler 是另一個迭代應用，但不是本例實現。
我的理解檢查
每次調整後，花園面積變了嗎？
沒有，仍是 159 — 另一條邊總用 159 除以第一條邊，所以面積總是保持。
兩邊分別為 12 和 13.25，取平均數是多少？
12.625 — 把兩數相加再除以 2。
畫起來很像正方形，就能保證每個小數都正確嗎？
不能，還要檢查誤差 — 圖只幫助建立直覺；足夠精細的結果要用兩邊差值或代回方程式檢查。
先試一個答案，用規則修正它，再檢查結果；這就是「逐次逼近」的直覺。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · 第 5 章