長い庭を段階的に広場に変えるにはどうすればよいでしょうか？
面積を変えずに両側を調整して、「推測すればするほど正確になる」ことを自分の目で確認してください。
159 平方メートルの土地があり、それを正方形の形で囲みたいと考えています。まずランダムに一方の辺を決め、もう一方の辺を「面積÷辺の長さ」で計算します。 2 つの辺は等しくありませんか?平均をとって再試行してください。
まずは推測してください
面積が決まっている長方形を正方形にしたい場合、最後の2辺はどうすればよいでしょうか?
答えと解説を見る
同じ長さ — 正方形の隣接する 2 つの辺が等しい場合でも、面積は同じ数値になります。
そして経験と科学を結びつける
不明な辺の長さを推測に置き換えます
青い点は推測 x、灰色の点は 159/x です。 2 つの合計は常に 159 になりますが、多くの場合、これは 2 乗になりません。
長さ × 幅 = x × (159/x) = 159
両サイドが中央に近づく
一方が短すぎると、もう一方は長すぎます。辺の長さの次の推定値としてそれらを平均します。
xnew = (xold + 159/xold) / 2
同じルールを繰り返す
修正の数を変更し、2 つの点が徐々に重なることを観察します。初期値が異なると必要なステップ数に影響しますが、この問題の正の平方根は変わりません。
12 → 12.625 → 12.6095297 → …
元の問題チェックに戻す
最後の 2 つの数字だけを見るのではなく、現在の辺の長さを 2 乗して、159 からどのくらい離れているかを確認してください。
残差 = x² − 159
計算の流れを詳しく見る
xₙ₊₁ = (xₙ + N/xₙ)/2 rₙ = xₙ² − N
N=159;正の数から始めます。最初に N/x を計算し、それを古い x で平均します。残差がゼロに近いということは、正方形がターゲットに近いことを意味しますが、すべての桁が正確であることを意味するわけではありません。
試してみてください
初期値を12から1に変更し、徐々に補正回数を増やしていきます。 6 つのステップで必要な精度を達成できましたか?
見てみてください →
記号を覚える必要はありません
- x
- 現在の正側の長さの推定
- 159/x
- 長方形の反対側の面積は 159 であることが保証されています
- 残留物
- 候補の答えを元の方程式に代入した後の残りの差
アルゴリズム、精度、適用範囲
第 5 章 例 5.a、印刷ページ 48。ここでは正の平方根の反復のみを示しており、どの反復も収束すると結論付けることはできません。初期値は正のみで最大6段階まで表示可能です。 「消費したステップ数」を「到達精度」とは言いません。独立した検証では、二部根の探索、ブックの段階的な値、および残差が使用されます。 AA+ の AAKepler も反復アプリケーションですが、この例では実装されていません。
私の理解度チェック
調整するたびに庭のエリアは変わりましたか?
いいえ、まだ 159 — もう一方の辺は常に最初の辺を 159 で割るため、面積は常に残ります。
両辺は12と13.25ですが、平均はどれくらいでしょうか？
12.625 — 2 つの数値を加算して 2 で割ります。
正方形に見える場合、小数点以下の桁はすべて正しいでしょうか?
いいえ、エラーを確認する必要があります — グラフは直感を確立するのに役立つだけです。十分に細かい結果は、両辺の差または代入方程式を使用してチェックする必要があります。
まず答えを試し、ルールに従って修正し、結果を確認します。これが「逐次近似」の直感です。
Jean Meeus · Astronomical Algorithms, 2nd ed. · いいえ。 5 章